Различные топологические проблемы, связанные с решетками

Различные топологические проблемы, связанные с решеткамиТаким образом, какой бы ни была данная решетка (представляющая собой плоский граф), вершины ее могут быть раскрашены четырьмя различными цветами таким образом, что две соседние вершины всегда будут разного цвета, а модули данной решетки могут быть раскрашены таким образом, что два соседних модуля, имеющих одно общее ребро, всегда будут разного цвета. Для этого достаточно рассмотреть двойственный граф.

Если раскрашивание модулей используется для выявления несовместимых ограничений, то два одинаково раскрашенных модуля не могут быть смежными, и, следовательно, при наличии четырех классов, а значит, самое большее 6 пар различных цветов можно воспроизвести все допустимые варианты смежности.

Естественно, что можно использовать столько различных цветов, сколько имеется вершин на данном конечном участке решетки. Но гораздо интереснее работать с минимумом цветов.

Можно привести несколько примеров решеток, хроматическое число которых изменяется в пределах от 2 до 4; например в случае. Известно, например, что любой граф и, следовательно, любая решетка, не имеющая треугольных ячеек, могут быть раскрашены с помощью трех цветов.

Что касается решетки, представленной, для раскрашивания ее достаточно использовать два цвета. Для раскрашивания решетки, и имеющей треугольные ячейки, необходимо использовать четыре цвета, т. е. в данном случае речь идет о четырехцветном графе.

Плоский характер решетки. При исследовании плоских решеток решетчатая ткань рассматривается как плоский граф (два любых ребра графа встречаются лишь в одной вершине графа).

Поэтому при необходимости рассмотрения математического аспекта решетчатой ткани обращаются к исследованию плоских графов. Преимущества плоских графов согласуются с принципом композиции на плане.

Вообще, поскольку план является двухмерным, можно расширить исследование плоских решеток до уровня рассмотрения двухмерных поверхностей (т. е. поверхностей, не имеющих толщины, характеризуемых лишь двумя параметрами, которые эквивалентны всей плоскости или только ее части).

Читайте так же:

Комментарии запрещены.