Если брать в качестве открытых множеств базы треугольники без границ, то можно заметить, что шестиугольник, образованный из шести треугольников, не содержит точек, принадлежащих внутренним ребрам шестиугольника. Всякое открытое множество представляет собой объединение смежных или несмежных треугольных ячеек.
Пересечение двух открытых множеств базы является пустым Ф. То же самое справедливо и для всех баз, составленных из открытых ячеек решетки.
Если рассматривать в топологии решетки Т модули без границ, то нужно добавлять ребра и вершины, полученные в результате пересечения указанных модулей. При данной топологии решетка Т будет гомеоморфной шестиугольной решетке, снабженной естественной топологией.
Если на прямоугольной решетке рассматривать топологию с базой открытых множеств, образованных из прямоугольников типа, то полученная решетка не будет более изоморфной прямоугольной решетке, а будет изоморфной шестиугольной решетке. В результате из прямоугольной решетки получается решетка шестиугольная.
При топологическом подходе к решетке не возникает необходимости в рассмотрении метрики. А ведь в повседневном использовании решеток это понятие оказывается чрезвычайно полезным, поскольку оно позволяет проводить определенные расчеты, т. е. сообщает решетке операционные возможности.
Рассмотрим несколько метрик. Например, метрику на множестве ячеек, пригодную для определения близости ячеек, являющихся опорными для некоторых вариантов использования решеток в архитектурном проектировании.
Можно также рассмотреть метрику на множестве вершин, пригодную для оценки граней в случае, когда встает вопрос о распределении или о циркуляции в рассматриваемой структуре и т. д. Ниже будут представлены некоторые примеры метрик, а также показатели близости. Рассмотрим прямоугольную решетку.
Если рассматривать эту решетку как граф, то расстояние между двумя ее вершинами представляется как наименьшая длина путей, их соединяющих. Это расстояние на 5Г называется расстоянием, естественно связанным с решетчатой тканью, или естественным расстоянием.