Для простоты и наглядности изложения в качестве примеров для рассмотрения в части 2 данной книги брались простые решетки. Более того, выбирались такие решетки, которые еще не были представлены в литературе по графам.

При рассмотрении решетки в качестве топологического объекта за основу берутся понятия однородности и регулярности.

Сюда же, до логике, присоединяется и понятие двойственности.

Центральное место в процессе составления топологии на решетке занимает понятие прокладки пути прохождения.

Если рассматривать решетку (или решетчатую ткань) как граф отношения, то базис ее окажется бесконечным; на практике же обычно рассматривают некий конечный участок графа. Обозначим через совокупность вершин графа, или базис отношения.

Каждая вершина характеризуется определенной степенью, которая равна числу ребер, сходящихся в этой точке. Если Т представляет собой порождающий участок решетки Т, т. е. участок, связанный с двумя неколлинеарными сдвигами, обеспечивающими возможность порождения всей решетки Г, то по степеням вершин участка Тл можно узнать все степени вершин решетки Г. Решетка называется однородной, когда вершины ее характеризуются одинаковой степенью.

Решетка всегда связна.

Ячейка представляет собой минимальный цикл решетки.

Степень решетки Т — это минимальная вершин.

В решетке, вершины ее имеют степени 4, 8, 6; на обнаруживаются все типы вершин, если производить сдвиги?7 и 1 составляющих эту решетку треугольных и четырехугольных ячеек.

Степень связности для множества путей на решетке Г характеризуется числом путей (А, В). Естественно, что указанное число путей не является конечным, и поэтому встает вопрос об имеющемся в этом множестве числе путей минимальной длины.

Так, для всех путей (8,3) характерно то, что они имеют конечные точки 8 и 3.